Matemática
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Examinando Matemática por Materia "Enseñanza de las matemáticas"
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Ítem MA-505: Análisis I(2017-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.Este curso de análisis pretende ser una transición entre las materias de sucesiones y series, derivadas e integrales, vistas de modo algorítmico en cursos anteriores, y el estudio colectivo de los espacios de funciones integrables y distribuciones, en cursos posteriores. Se caracteriza por un mayor rigor en su desarrollo, aun cuando su temática sea menos amplia. El curso comienza con el estudio/repaso de algunos aspectos importantes de funciones de una variable real. Luego se abre al análisis en varias variables, con indicaciones de estructuras más generales (espacios métricos y espacios normados). Culmina con un examen de fenómenos de continuidad y convergencia en la presencia de ortogonalidad (espacios de Hilbert). TEMARIO: 1) Prolegómenos sobre análisis en la recta real: Los números reales R y números complejos C. Funciones continuas, valores intermedios. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy, la completitud de R. Convergencia uniforme, la prueba-M de Weierstrass para series de funciones. Polinomios de ernstein, aproximación de funciones continuas por polinomios. 2) Espacios métricos y su topología: Conjuntos abiertos y cerrados en Rn, vecindarios de un punto. Conjuntos compactos en Rn, el teorema de Heine y Borel. Espacios métricos en general, ejemplos. Espacios métricos completos, la compleción de un espacio métrico. Conjuntos conexos y conexos por caminos en Rn. 3) Espacios normados y espacios de funciones Normas en Rn, normas de funciones con valores reales o complejas, equivalencias entre normas. Series en un espacio normado, series absolutamente convergentes. Aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados, extensiones de formas lineales. Diferenciación en espacios normados, la regla de la cadena. Espacios de funciones continuas y sus compleciones. El teorema de aproximación de Stone y Weierstrass. 4) Espacios de Hilbert y series de Fourier: Formas hermíticas definidas positivas, productos escalares. La igualdad de Parseval, bases ortonormales. Proyecciones ortogonales, el algoritmo de Gram y Schmidt. Los teoremas de representación de Riesz para los espacios de Hilbert y espacios de funciones continuas. Series de Fourier de funciones periódicas. Núcleos de Dirichlet y de Fejér, problemas de convergencia de las series de Fourier.Ítem SP-1329: Álgebra Homológica(2018-07-07) Várilly Boyle, Joseph C.Este es un curso de álgebra homológica, un optativo de posgrado en matemáticas. El álgebra homológica abarca la determinación y el manejo de invariantes algebraicos en diversas ramas de la matemática. El curso empieza con los elementos estructurales de la teoría: los complejos de módulos sobre un anillo, sus grupos de co/homología y sus funtores derivados; amén de un interludio sobre categorías y funtores. En seguida, se examinan casos particulares: la homología singular de espacios topológicos, la cohomología de de~Rham de variedades diferenciales, los complejos de Koszul, la cohomología de grupos, las cohomologías de álgebras asociativas, y la cohomología de Čech. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Categorías y funtores. 3. Resoluciones y funtores derivados. 4. Ejemplos de homologías y cohomologías.