Matemática

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https://hdl.handle.net/10669/15621

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Geometric goodness of fit measure to detect patterns in data point clouds
(2022-06-23) Hernández Alvarado, Alberto José; Solís Chacón, Maikol
In this work, we derive a geometric goodness-of-fit index similar to R2 using geomet- ric data analysis techniques. We build the alpha shape complex from the data-cloud projected onto each variable and estimate the area of the complex and its domain. We create an index that measures the difference of area between the alpha shape and the smallest squared window of observation containing the data. By applying ideas similar to those found in the closest neighbor distribution and empty space distribu- tion functions, we can establish when the characterizing geometric features of the point set emerge. This allows for a more precise application for our index. We pro- vide some examples with anomalous patterns to show how our algorithm performs.
¿Ha escuchado del Dengue, Zika o Chikungunya?
(2020) Vásquez Brenes, Paola Andrea; Sánchez Peña, Fabio Ariel
¿Ha escuchado del Dengue, Zika o Chikungunya? Ese es el nombre de las enfermedades que yo, el mosquito Aedes aegypti puedo transmitir cada vez que me alimento.Vivo en lugares con agua estancada, esos son mis favoritos, ahí puedo refugiarme en los envases botados por la gente y poner mis huevecillos. Las llantas viejas son las mejores, porque además de tener agua, conservan el calor durante la noche.
MA-1003: Apuntes de Cálculo III
(2022-12) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un curso de cálculo en varias variables, orientado a estudiantes de segundo año de ingeniería. Fue impartido en la Universidad de Costa Rica en el segundo ciclo lectivo del 2020. Temática: 1. Superficies y curvas. 2. Derivadas parciales. 3. Integrales múltiples. 4. Análisis vectorial.
MA-360: Álgebra lineal I
(2021-07-22) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es el primero de dos cursos de álgebra lineal, del segundo año de la carrera de matemáticas de la Universidad de Costa Rica, impartido en el I ciclo del 2021. Combina aspectos teóricos sobre los espacios vectoriales y las aplicaciones lineales entre ellos, con el manejo algorítmico de los vectores y las matrices. Temática: 1. Vectores en el espacio euclidiano R^n. 2. Espacios vectoriales. 3. Matrices y ecuaciones lineales. 4. Aplicaciones lineales y matrices.360 5. Espacios vectoriales euclidianos. 6. Trazas y determinantes.
MA-455: Ecuaciones diferenciales ordinarias
(2016-07-12) Várilly Boyle, Joseph C.
Para las ecuaciones de primer orden, el teorema de Picard permite obtener existencia y unicidad de las soluciones. Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales son estudiados en detalle. Los problemas de contorno para ecuaciones de segundo orden son estudiados por el método de Sturm y Liouville. Con el método de Frobenius se obtienen soluciones en series de potencias, que permite introducir familias de funciones especiales. Para obtener soluciones aproximados, hay que considerar varios métodos numéricos, con énfasis en los métodos de Runge y Kutta. Temática: 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Ecuaciones diferenciales lineales. 3. Problemas de contorno. 4. Resolución por series de potencias. 5. Soluciones aproximadas.
MA-460: Álgebra lineal II
(2007-12-15) Várilly Boyle, Joseph C.
Este documento se generó con los apuntes del curso MA–460 Álgebra Lineal, del II ciclo lectivo del 2007. Este es un segundo curso de álgebra lineal, posterior a un curso básico que trata de espacios vectoriales y sus aplicaciones lineales, de las matrices y sus determinantes. Este segundo curso enfatiza los aspectos estructurales de álgebra lineal. Temática: 1. Breve repaso de los conceptos básicos. 2. Autovalores y autovectores, formas normales de una matriz. 3. Ortogonalidad y teoría espectral. 4. Formas bilineales. 5. Álgebras exteriores y de Clifford. La estructura de las aplicaciones se determina a través de los polinomios característicos y mínimos de sus matrices. En la presencia de un producto escalar real o complejo, las bases ortonormales conducen a una clasificación de matrices ortogonales, unitarias y positivas, culminando con el teorema espectral en dimensión finita. Las formas bilineales simétricas y alternantes se clasifican por su rango y signatura. Mediante el producto tensorial de vectores, se logra examinar varias estructuras multiplicativas sobre los espacios vectoriales. Estos apuntes van acompañados de diversos ejercicios, los cuales, además de ofrecer una práctica rutinaria acerca de los tópicos discutidos, sirven para amplificar y complementar esos temas.
MA-460: Álgebra lineal II (2020)
(2020-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un segundo curso de álgebra lineal, posterior a un curso básico que trata de espacios vectoriales y sus aplicaciones lineales, de las matrices y sus determinantes. Este segundo curso enfatiza los aspectos estructurales de álgebra lineal. Temática: 1. Fundamentos del álgebra lineal. 2. Estructura de aplicaciones lineales. 3. Ortogonalidad y teoría espectral. 4. Formas bilineales.
MA-505: Análisis I
(2017-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
Este curso de análisis pretende ser una transición entre las materias de sucesiones y series, derivadas e integrales, vistas de modo algorítmico en cursos anteriores, y el estudio colectivo de los espacios de funciones integrables y distribuciones, en cursos posteriores. Se caracteriza por un mayor rigor en su desarrollo, aun cuando su temática sea menos amplia. El curso comienza con el estudio/repaso de algunos aspectos importantes de funciones de una variable real. Luego se abre al análisis en varias variables, con indicaciones de estructuras más generales (espacios métricos y espacios normados). Culmina con un examen de fenómenos de continuidad y convergencia en la presencia de ortogonalidad (espacios de Hilbert). TEMARIO: 1) Prolegómenos sobre análisis en la recta real: Los números reales R y números complejos C. Funciones continuas, valores intermedios. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy, la completitud de R. Convergencia uniforme, la prueba-M de Weierstrass para series de funciones. Polinomios de ernstein, aproximación de funciones continuas por polinomios. 2) Espacios métricos y su topología: Conjuntos abiertos y cerrados en Rn, vecindarios de un punto. Conjuntos compactos en Rn, el teorema de Heine y Borel. Espacios métricos en general, ejemplos. Espacios métricos completos, la compleción de un espacio métrico. Conjuntos conexos y conexos por caminos en Rn. 3) Espacios normados y espacios de funciones Normas en Rn, normas de funciones con valores reales o complejas, equivalencias entre normas. Series en un espacio normado, series absolutamente convergentes. Aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados, extensiones de formas lineales. Diferenciación en espacios normados, la regla de la cadena. Espacios de funciones continuas y sus compleciones. El teorema de aproximación de Stone y Weierstrass. 4) Espacios de Hilbert y series de Fourier: Formas hermíticas definidas positivas, productos escalares. La igualdad de Parseval, bases ortonormales. Proyecciones ortogonales, el algoritmo de Gram y Schmidt. Los teoremas de representación de Riesz para los espacios de Hilbert y espacios de funciones continuas. Series de Fourier de funciones periódicas. Núcleos de Dirichlet y de Fejér, problemas de convergencia de las series de Fourier.
MA-561: Grupos y anillos
(2014-06-30) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un curso de álgebra abstracta, sobre grupos y anillos, de tercer año de la carrera de matemáticas. Temática: 1. Grupos. 2. Grupoides y categorías. 3. Anillos. 4. Representaciones de grupos finitos. La teoría básica de grupos comprende el conteo de coclases, los teoremas de isomorfía, las acciones de grupos sobre conjuntos, los teoremas de Sylow sobre los p-subgrupos, y aspectos estructurales. Se introduce el concepto de categoría a través del ejemplo de grupoides. La teoría básica de anillos incluye el estudio de ideales y de módulos; entre los ejemplos están los anillos de matrices y los anillos de polinomios que conducen al tema de la factorización única y los anillos principales. Las acciones de grupos sobre espacios vectoriales (es decir, sus representaciones lineales) permiten introducir los caracteres de un grupo y así clasificar las representaciones irreducibles.
MA-660: Teoría de Galois
(2006-12) Várilly Boyle, Joseph C.
Este documento es un texto introductoria para el estudio de La teoría de Galois, la cual es el resultado de los estudios de Evariste Galois (circa 1830) sobre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas por radicales: un concepto clave es el grupo de permutaciones de las raíces de la ecuación. Este grupo induce simetrías de ciertos "extensiones de cuerpos": hoy en día, se trata de establecer una correspondencia de Galois entre subgrupos del grupo y cuerpos intermedios de la extensión. Este curso abarca y unifica varios temas del álgebra clásica y moderna. Temática: 1. Polinomios y resolución de ecuaciones. 2. Extensiones de cuerpos. 3. Grupos de Galois. 4. Cuerpos finitos. 5. Extensiones de Hopf-Galois. El curso empieza con un estudio sobre las propiedades de los polinomios con coeficientes enteros (o racionales). Luego se consideran cuerpos más grandes, al extender Q mediante la adjunción de números algebraicos, hasta llegar al concepto de una extensión normal de un cuerpo. En seguida se introducen los grupos de automorfismos de un cuerpo numérico y su relación con la resolución de las ecuaciones. Después se pasa al caso importante de un cuerpo con un número finito de elementos, clasificando sus extensiones con la ayuda de la teoría de grupos. Finalmente, se considera una variante moderna de las extensiones galoisianas, en donde el grupo de automorfismos se amplía a su “álgebra de grupo”, cuya estructura permite dar una nueva mirada a las simetrías de cuerpos numéricos.
MA-702: Variable compleja
(2012-06-30) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un curso de análisis sobre funciones holomorfas de una variable compleja. Las integrales sobre caminos regulares en el plano complejo, a partir del teorema de Cauchy, exhiben las propiedades especiales de las funciones holomorfas y permiten evaluar integrales reales por medio del cálculo de residuos. Las expansiones y series o productos infinitos dan acceso a las funciones gamma de Euler y zeta de Riemann. Las funciones holomorfas también sirven para desarrollar aplicaciones conformes del plano complejo. Temática: 1. Funciones en el plano complejo. 2. El teorema de Cauchy y las funciones holomorfas. 3. Series y productos de funciones holomorfas. 4. Aplicaciones conformes.
MA-702: Variable Compleja I (2022)
(2022-07) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un primer curso de variable compleja a nivel de cuarto año de la carrera de matemática en la UCR, impartido en el I ciclo del 2022. Se introduce las funciones analíticas, holomorfas y meromorfas en el plano complejo. Con el uso de integrales de línea y series de funciones se estudian las funciones complejas clásicas. También se extienden estos métodos a las funciones armónicas de varias variables reales. Temática: 1. Funciones en el plano complejo. 2. El teorema de Cauchy y las funciones holomorfas. 3. Integrales y series por métodos complejos. 4. Funciones armónicas.
MA-704: Topología
(2011-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
La topología general trata de las propiedades generales de conjuntos y las aplicaciones continuas entre ellos: partes abiertas y cerradas, los conceptos de compacidad y conexidad, la convergencia por sucesiones y redes, las propiedades de separación de puntos y partes cerradas. La topología algebraica clasifica los espacios topológicos al asociarles ciertos invariantes algebraicas, entre ellos los grupos de homotopía y homología. Temática: 1. Espacios topológicas y funciones continuas. 2. Conexidad, compacidad y separación. 3. Introducción a la homotopía. 4. Introducción a la homología.
MA-707: Geometría no conmutativa
(2010-06-15) Ugalde Gómez, William Javier; Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un seminario de pregrado, ofrecido en el I ciclo lectivo de 2010. La geometría no conmutativa es un tema activa de investigación; se trata de una introducción a esta nueva materia asequible para estudiantes de pregrado. Temática: 1. Espacios y álgebras de coordenadas. 2. Fibrados vectoriales y módulos proyectos. 3. El círculo S^1. 4. La geometría de la esfera S^2. 5. La geometría de la esfera S^3. 6. El toro no conmutativo. 7. Distancia y dimensión. 8. El grupo cuántico SU_q(2). 9. Área y volumen en la geometría no conmutativa.
MA-729: Teoría de representaciones
(2015-12-03) Várilly Boyle, Joseph C.
La teoría de representaciones es el estudio de diversas estructuras algebraicas (álgebras asociativas, grupos finitos, álgebras de Lie) mediante su concreción como matrices o aplicaciones lineales. Las álgebras asociativas finitodimensionales semisimples tienen una estructura matricial que se ejemplifica en álgebras de grupos finitos. Los grupos finitos, a su vez, se clasifican por sus caracteres. Estos dos aspectos permiten elucidar las representaciones de los grupos de permutaciones S_n. Las álgebras de Lie semisimples se analizan mediante objetos combinatorios, sus sistemas de raíces, que permiten reconstruir sus representaciones. Temática: 1. Álgebras asociativas. 2. Representaciones de álgebras finitodimensionales. 3. Representaciones de grupos finitos. 4. Representaciones del grupo S_n. 5. Estructura de álgebras de Lie.
MA-860: Teoría de módulos
(2008-12-15) Várilly Boyle, Joseph C.
Los módulos sobre un anillo generalizan los espacios vectoriales. Se analiza la estructura de módulos sobre un anillo entero principal. Los anillos, conmutativas o no, se estudian mediante sus módulos proyectivos e inyectivos. Los funtores determinados por los complejos de módulos conforman la teoría de álgebra homológica. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Elementos de la teoría de categorías. 3. Módulos proyectivos e inyectivos. 4. Elementos de álgebra homológica.
MA-870: Geometría diferencial
(2020-12) Várilly Boyle, Joseph C.
Este es un curso de geometría diferencial, de cuarto año de la carrera de matemáticas de la Universidad de Costa Rica, impartido en el II ciclo del 2020. Los objetos de la geometría diferencial son las variedades diferenciales, que generalizan las curvas y superficies de la teoría clásica a dimensiones superiores. Temática: 1. Variedades diferenciales. 2. Formas diferenciales. 3. Integración en variedades. 4. Conexiones y curvatura.
Minimum depth of factorization algebra extensions
(2023) Hernández Alvarado, Alberto José
In this paper we study the minimum depth of a subalgebra embedded in a factorization algebra, and outline how subring depth, in this context, is related to module depth of the regular left module representation of the given subalgebra, within the appropriate module ring. As a consequence, we produce specific results for subring depth of a Hopf subalgebra in its Drinfel'd double. Moreover we study a necessary and sufficient condition for normality of a Hopf algebra within a double cross product context, which is equivalent to depth 2, as it is well known by a result of Kadison. Using the sufficient condition, we then prove some results regarding minimum depth 2 for Drinfel'd double Hopf subalgebra pairs, particularly in the case of finite group algebras. Finally, we provide formulas for the centralizer of a normal Hopf subalgebra in a double cross product scenario.
El mundo del Origami. Las bases
(2014-02-24) Araya Aguilar, Luis Gerardo
El origami emplea además del papel, distintas técnicas de doblez para llevar a cabo el diseño de inumerables figuras, por lo cual, para empezar,es necesario conocer y aprender de éstas. Una de estas técnicas es lo que se denominan la creación de bases. Como el nombre lo sugiere, la creación de una base es la estructuración de un diseño previo de dobleces hasta una secuencia determinada, la cual sirve para crear muchas figuras a partir de ésta.
Sistemas de numeración posicional: estructura paracial en base 2,3,5,10
(1985) Rodríguez Alfaro, Analive
El propósito de este fascículo es introducir mediante un juego la estructura parcial de diferentes sistemas de numeración posicional. Sugiere ideas para la enseñanza-aprendizaje de los sistemas de numeración posicional, por medio de una serie de actividades que involucran el trabajo con base 2, base 3, base 5 base 1'

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