Matemática
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Ítem MA-455: Ecuaciones diferenciales ordinarias(2016-07-12) Várilly Boyle, Joseph C.Para las ecuaciones de primer orden, el teorema de Picard permite obtener existencia y unicidad de las soluciones. Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales son estudiados en detalle. Los problemas de contorno para ecuaciones de segundo orden son estudiados por el método de Sturm y Liouville. Con el método de Frobenius se obtienen soluciones en series de potencias, que permite introducir familias de funciones especiales. Para obtener soluciones aproximados, hay que considerar varios métodos numéricos, con énfasis en los métodos de Runge y Kutta. Temática: 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Ecuaciones diferenciales lineales. 3. Problemas de contorno. 4. Resolución por series de potencias. 5. Soluciones aproximadas.Ítem MA-460: Álgebra lineal II (2020)(2020-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.Este es un segundo curso de álgebra lineal, posterior a un curso básico que trata de espacios vectoriales y sus aplicaciones lineales, de las matrices y sus determinantes. Este segundo curso enfatiza los aspectos estructurales de álgebra lineal. Temática: 1. Fundamentos del álgebra lineal. 2. Estructura de aplicaciones lineales. 3. Ortogonalidad y teoría espectral. 4. Formas bilineales.Ítem MA-505: Análisis I(2017-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.Este curso de análisis pretende ser una transición entre las materias de sucesiones y series, derivadas e integrales, vistas de modo algorítmico en cursos anteriores, y el estudio colectivo de los espacios de funciones integrables y distribuciones, en cursos posteriores. Se caracteriza por un mayor rigor en su desarrollo, aun cuando su temática sea menos amplia. El curso comienza con el estudio/repaso de algunos aspectos importantes de funciones de una variable real. Luego se abre al análisis en varias variables, con indicaciones de estructuras más generales (espacios métricos y espacios normados). Culmina con un examen de fenómenos de continuidad y convergencia en la presencia de ortogonalidad (espacios de Hilbert). TEMARIO: 1) Prolegómenos sobre análisis en la recta real: Los números reales R y números complejos C. Funciones continuas, valores intermedios. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy, la completitud de R. Convergencia uniforme, la prueba-M de Weierstrass para series de funciones. Polinomios de ernstein, aproximación de funciones continuas por polinomios. 2) Espacios métricos y su topología: Conjuntos abiertos y cerrados en Rn, vecindarios de un punto. Conjuntos compactos en Rn, el teorema de Heine y Borel. Espacios métricos en general, ejemplos. Espacios métricos completos, la compleción de un espacio métrico. Conjuntos conexos y conexos por caminos en Rn. 3) Espacios normados y espacios de funciones Normas en Rn, normas de funciones con valores reales o complejas, equivalencias entre normas. Series en un espacio normado, series absolutamente convergentes. Aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados, extensiones de formas lineales. Diferenciación en espacios normados, la regla de la cadena. Espacios de funciones continuas y sus compleciones. El teorema de aproximación de Stone y Weierstrass. 4) Espacios de Hilbert y series de Fourier: Formas hermíticas definidas positivas, productos escalares. La igualdad de Parseval, bases ortonormales. Proyecciones ortogonales, el algoritmo de Gram y Schmidt. Los teoremas de representación de Riesz para los espacios de Hilbert y espacios de funciones continuas. Series de Fourier de funciones periódicas. Núcleos de Dirichlet y de Fejér, problemas de convergencia de las series de Fourier.Ítem MA-704: Topología(2011-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.La topología general trata de las propiedades generales de conjuntos y las aplicaciones continuas entre ellos: partes abiertas y cerradas, los conceptos de compacidad y conexidad, la convergencia por sucesiones y redes, las propiedades de separación de puntos y partes cerradas. La topología algebraica clasifica los espacios topológicos al asociarles ciertos invariantes algebraicas, entre ellos los grupos de homotopía y homología. Temática: 1. Espacios topológicas y funciones continuas. 2. Conexidad, compacidad y separación. 3. Introducción a la homotopía. 4. Introducción a la homología.Ítem MA-729: Teoría de representaciones(2015-12-03) Várilly Boyle, Joseph C.La teoría de representaciones es el estudio de diversas estructuras algebraicas (álgebras asociativas, grupos finitos, álgebras de Lie) mediante su concreción como matrices o aplicaciones lineales. Las álgebras asociativas finitodimensionales semisimples tienen una estructura matricial que se ejemplifica en álgebras de grupos finitos. Los grupos finitos, a su vez, se clasifican por sus caracteres. Estos dos aspectos permiten elucidar las representaciones de los grupos de permutaciones S_n. Las álgebras de Lie semisimples se analizan mediante objetos combinatorios, sus sistemas de raíces, que permiten reconstruir sus representaciones. Temática: 1. Álgebras asociativas. 2. Representaciones de álgebras finitodimensionales. 3. Representaciones de grupos finitos. 4. Representaciones del grupo S_n. 5. Estructura de álgebras de Lie.Ítem MA-860: Teoría de módulos(2008-12-15) Várilly Boyle, Joseph C.Los módulos sobre un anillo generalizan los espacios vectoriales. Se analiza la estructura de módulos sobre un anillo entero principal. Los anillos, conmutativas o no, se estudian mediante sus módulos proyectivos e inyectivos. Los funtores determinados por los complejos de módulos conforman la teoría de álgebra homológica. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Elementos de la teoría de categorías. 3. Módulos proyectivos e inyectivos. 4. Elementos de álgebra homológica.Ítem SP-1311: Análisis Funcional(2018-12) Várilly Boyle, Joseph C.Este es el curso de Análisis Funcional del posgrado en matemáticas de la Universidad de Costa Rica. Esta versión fue impartida en el segundo ciclo lectivo de 2018. Constituye un aggiornamento del curso SP-1322 del 2012. Temática: 1. Los espacios del análisis lineal. 2. Los teoremas fundamentales y la dualidad. 3. Operadores y teoría espectral. 4. Introducción a las distribuciones.Ítem SP-1329: Álgebra Homológica(2018-07-07) Várilly Boyle, Joseph C.Este es un curso de álgebra homológica, un optativo de posgrado en matemáticas. El álgebra homológica abarca la determinación y el manejo de invariantes algebraicos en diversas ramas de la matemática. El curso empieza con los elementos estructurales de la teoría: los complejos de módulos sobre un anillo, sus grupos de co/homología y sus funtores derivados; amén de un interludio sobre categorías y funtores. En seguida, se examinan casos particulares: la homología singular de espacios topológicos, la cohomología de de~Rham de variedades diferenciales, los complejos de Koszul, la cohomología de grupos, las cohomologías de álgebras asociativas, y la cohomología de Čech. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Categorías y funtores. 3. Resoluciones y funtores derivados. 4. Ejemplos de homologías y cohomologías.