De la fórmula de sumación de Poisson a los teoremas de muestreo y reconstrucción

Abstract

Los radioastrónomos miden la visibilidad de una fuente luminosa para determinar la cantidad de luz emitida y su distribución, bajo el principio que esta es la transformada de Fourier de la visibilidad. En la teoría de la información se reconstruyen señales continuas a partir de mediciones uniformemente espaciadas. En la Tomografía Computada se pretende la reconstrucción de un “objeto” conociendo sus integrales de línea. Estas ideas se apoyan en los teoremas de muestreo, en los cuales se estudian funciones de tipo banda limitada, esto es, funciones cuya transformada de Fourier tiene soporte compacto. La idea es expresar una función en su expansión de Fourier, a partir de allí deducir una fórmula de sumación para relacionar f con \hat{f}, y de ella, obtener un teorema de muestreo, en el cual se recupera f mediante una sumatoria de valores de la función original y una función reconstructora. Si la función estudiada no es de banda limitada pero su transformada de Fourier es pequeña en algún sentido fuera de un compacto, es posible acotar la diferencia entre la función y su posible aproximación. En este trabajo se pretende explorar las técnicas que permiten concluir los teoremas de muestreo a partir de las fórmulas de sumación, presentar los diferentes tipos de “series reconstructoras” (llamadas aquí series cardenales) y dar un aporte sobre la aproximación de estas series por sus sumas parciales en el caso n-dimensional.