Esquemas en grupos y torsores

Abstract

El principal objetivo es analizar la extensión de un G-torsor dado sobre la fibra genérica de X, donde X=AnRes el espacio afín n-dimensional sobre un anillo de valuación discreta R. Para ello primero se estudiará un caso más general. Se pedirá que X sea un esquema de tipo finito y fielmente plano sobre Spec(R) con una sección x∈X(R) ,G un K-esquema afín en grupos de tipo finito y f:Y→X un G-torsor punteado sobre x de manera que al considerar una inmersión en GLn, K el producto contraído sea trivial. Bajo estas hipótesis se usará la relación con las álgebras de Hopf para realizar los cálculos, dando como fruto una posible extensión. Sinembargo, esta opción de extensión puede no ser fielmente plana, como consecuencia habría que realizar un número finito de brotes de Nerón sobre el origen de X. Por lo tanto, por la biyección con los GLn, AnR-torsores se puede afirmar, salvo por un número finito de brotes de Neron, que siempre existe dicha extensión cuando X es el espacio afín n-dimensional sobre R ya que todo GLn, AnR-torsor sería trivial por el teorema de Quillen-Suslin. Finalmente, usando el isomorfismo entre el espacio afínn-dimensional sobre R y el espacio resultante al realizar m-veces el brote de Neron sobre la fibra especial del origen, se verifica que dicha extensión.