Procesos de Levy Cilíndricos: Regularización e Integración

Abstract

Para la presentación de los resultados de plantea una estructura de una tesis compuesta de 4 capítulos. Dichos capítulos están descritos acontinuación. En el Capítulo 1 se presentan algunos preliminares necesarios para la comprensión de los temas centrales en los siguientes capítulos. Se supondrá que el lector está familiarizado con las propiedades básicas de los espacios de Hilbert, y solamente se realizará un breve repaso de algunas de las clases de operadores lineales que son relevantes para nuestro estudio. Similarmente, supondremos familiaridad con la teoría básica de procesos estocásticos en espacios de dimensión finita y solamente haremos un breve repaso por las propiedades más importantes de los procesos de Lévy que son clave para nuestros argumentos posteriores. Y por último se presentará breves resultados sobre procesos estocásticos que toman valores en un espacio de Hilbert, en particular se introducirán ejemplos. En el Capítulo 2 se realizará una exposición de la teoría de procesos cilíndricos realizados en trabajos actuales. Se comenzará con el estudio de medidas cilíndricas sobre espacios de Hilbert. Se presentará la existencia de la descomposición cilíndrica de Lévy-Ito. Nuestra exposición está principalmente basada en la referencia [3]. En el Capítulo 3 se abordará el problema de probar la existencia de un proceso clásico de Lévy que corresponda a un proceso cilíndrico de Lévy que es mapeado mediante un operador de Hilbert-Schmidt. Dicho procedimiento es conocido como regularización o radonificación a través de un operador de tipo Hilbert-Schmidt. Es conocido que en general a todo proceso clásico de Lévy corresponde un proceso cil´ındrico de Lévy, pero el recíproco es falso en general y por eso se necesita la regularización/radonificación a través de un operador, que resulta ser de tipo Hilbert-Schmidt. Dicho procedimiento es ampliamente conocido en la literatura para el caso de las llamadas semimartingalas cilíndricas [6, 18] y se supone cierto por los expertos para el caso de un proceso cil´ındrico de Lévy, pero no hemos podido encontrar una prueba en la literatura. De este modo, se plantea proponer una prueba original para este resultado basándose en técnicas que ya han sido empleadas con éxito para el caso de un proceso cilíndrico de Lévy en espacios de distribuciones (véase [11, 12]). Además, se estudiarán los casos particulares de un proceso de Wiener cilíndrico y los procesos compuestos de Poisson cilíndricos y su efecto bajo esta regularización así como consecuencias relevantes gracias al mismo. El material de este capítulo constituye un aporte original en la teoría cilíndrica. Finalmente, en el Capítulo 4 se expone la teoría de integración estocástica para familias de operadores aleatorios de tipo Hilbert-Schmidt con respecto a un proceso cilíndrico de Lévy que posee segundos momentos débiles. Se tiene además como objetivo probar unas cuantas propiedades las cuales son las más importantes. Nuestra exposición se basará principalmente en las técnicas empleadas en [13]. Con las mismas se presenta los resultados más originales del trabajo. Esta integral estocástica ya se ha trabajado en [27] no obstante implementaremos los resultados del capítulo 3 para obtener una presentación concisa y más simple del mismo resultado además que en algunos aspectos se mejora incluso el resultado.