A two level overlapping Schwarz preconditioner for discontinuous Galerkin methods

Abstract

Se usarán dos herramientas para resolver el problema de Poisson con condiciones homogéneas de Dirichlet: un precondicionador de Schwarz con traslape de dos niveles para un problema generado con el método discontinuo de Galerkin. Se dará una descripción básica del DGM. Se darán algunos consejos sobre las herramientas matemáticas básicas que normalmente se utilizan para aplicación del método discontinuo, además estableceremos propiedades de aproximación y mostraremos cómo derivar estimaciones a priori. A la hora de definir el precondicionador, introducimos un espacio global de manera que la cota del número de condición del sistema precondicionado no dependa del número de subdominios. Se plantea una conjetura de que el número de condición se mantiene a lo sumo de orden logarítmico en función de los diámetros de las mallas H h , mientras que el crecimiento es lineal en función de H δ , como ocurre con estudios anteriores. Se incluyen resultados numéricos que apoyan nuestra conjetura, así como casos específicos con discontinuidades en los coeficientes de la ecuación diferencial.

Two tools will be used to solve the Poisson problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions: a two-level overlapping Schwarz preconditioner for a problem generated using the discontinuous Galerkin method (DGM). A basic description of DGM will be provided. Some advice on the fundamental mathematical tools typically used for the application of the discontinuous method will also be given, and we will establish approximation properties and show how to derive a priori estimates. When defining the preconditioner, we introduce a global space such that the bound on the condition number of the preconditioned system does not depend on the number of subdomains. A conjecture is proposed that the condition number remains at most of logarithmic order with respect to the mesh diameters H h, while the growth is linear concerning H δ , as observed in previous studies. Numerical results supporting our conjecture are included, as well as specific cases involving coefficient discontinuities in the differential equation.