Matemática

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    Geometric goodness of fit measure to detect patterns in data point clouds
    (2022-06-23) Hernández Alvarado, Alberto José; Solís Chacón, Maikol
    In this work, we derive a geometric goodness-of-fit index similar to R2 using geomet- ric data analysis techniques. We build the alpha shape complex from the data-cloud projected onto each variable and estimate the area of the complex and its domain. We create an index that measures the difference of area between the alpha shape and the smallest squared window of observation containing the data. By applying ideas similar to those found in the closest neighbor distribution and empty space distribu- tion functions, we can establish when the characterizing geometric features of the point set emerge. This allows for a more precise application for our index. We pro- vide some examples with anomalous patterns to show how our algorithm performs.
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    Minimum depth of factorization algebra extensions
    (2023) Hernández Alvarado, Alberto José
    In this paper we study the minimum depth of a subalgebra embedded in a factorization algebra, and outline how subring depth, in this context, is related to module depth of the regular left module representation of the given subalgebra, within the appropriate module ring. As a consequence, we produce specific results for subring depth of a Hopf subalgebra in its Drinfel'd double. Moreover we study a necessary and sufficient condition for normality of a Hopf algebra within a double cross product context, which is equivalent to depth 2, as it is well known by a result of Kadison. Using the sufficient condition, we then prove some results regarding minimum depth 2 for Drinfel'd double Hopf subalgebra pairs, particularly in the case of finite group algebras. Finally, we provide formulas for the centralizer of a normal Hopf subalgebra in a double cross product scenario.
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    MA-1003: Apuntes de Cálculo III
    (2022-12) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un curso de cálculo en varias variables, orientado a estudiantes de segundo año de ingeniería. Fue impartido en la Universidad de Costa Rica en el segundo ciclo lectivo del 2020. Temática: 1. Superficies y curvas. 2. Derivadas parciales. 3. Integrales múltiples. 4. Análisis vectorial.
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    MA-702: Variable Compleja I (2022)
    (2022-07) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un primer curso de variable compleja a nivel de cuarto año de la carrera de matemática en la UCR, impartido en el I ciclo del 2022. Se introduce las funciones analíticas, holomorfas y meromorfas en el plano complejo. Con el uso de integrales de línea y series de funciones se estudian las funciones complejas clásicas. También se extienden estos métodos a las funciones armónicas de varias variables reales. Temática: 1. Funciones en el plano complejo. 2. El teorema de Cauchy y las funciones holomorfas. 3. Integrales y series por métodos complejos. 4. Funciones armónicas.
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    MA-360: Álgebra lineal I
    (2021-07-22) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es el primero de dos cursos de álgebra lineal, del segundo año de la carrera de matemáticas de la Universidad de Costa Rica, impartido en el I ciclo del 2021. Combina aspectos teóricos sobre los espacios vectoriales y las aplicaciones lineales entre ellos, con el manejo algorítmico de los vectores y las matrices. Temática: 1. Vectores en el espacio euclidiano R^n. 2. Espacios vectoriales. 3. Matrices y ecuaciones lineales. 4. Aplicaciones lineales y matrices.360 5. Espacios vectoriales euclidianos. 6. Trazas y determinantes.
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    MA-870: Geometría diferencial
    (2020-12) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un curso de geometría diferencial, de cuarto año de la carrera de matemáticas de la Universidad de Costa Rica, impartido en el II ciclo del 2020. Los objetos de la geometría diferencial son las variedades diferenciales, que generalizan las curvas y superficies de la teoría clásica a dimensiones superiores. Temática: 1. Variedades diferenciales. 2. Formas diferenciales. 3. Integración en variedades. 4. Conexiones y curvatura.
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    MA-460: Álgebra lineal II (2020)
    (2020-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un segundo curso de álgebra lineal, posterior a un curso básico que trata de espacios vectoriales y sus aplicaciones lineales, de las matrices y sus determinantes. Este segundo curso enfatiza los aspectos estructurales de álgebra lineal. Temática: 1. Fundamentos del álgebra lineal. 2. Estructura de aplicaciones lineales. 3. Ortogonalidad y teoría espectral. 4. Formas bilineales.
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    ¿Ha escuchado del Dengue, Zika o Chikungunya?
    (2020) Vásquez Brenes, Paola Andrea; Sánchez Peña, Fabio Ariel
    ¿Ha escuchado del Dengue, Zika o Chikungunya? Ese es el nombre de las enfermedades que yo, el mosquito Aedes aegypti puedo transmitir cada vez que me alimento.Vivo en lugares con agua estancada, esos son mis favoritos, ahí puedo refugiarme en los envases botados por la gente y poner mis huevecillos. Las llantas viejas son las mejores, porque además de tener agua, conservan el calor durante la noche.
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    XS-3170 Aplicaciones de diseños experimentales: manual de laboratorio
    (2019) Alvarado Barrantes, Ricardo
    El presente trabajo es un manual de laboratorios para el curso XS-3170 Aplicaciones de Diseños Experimentales, el cual forma parte del programa de Bachillerato en Estadística de la Universidad de Costa Rica. Este curso se ubica en el sexto semestre de la carrera de Estadística y tiene como requisito un curso introductorio llamado Introducción a los Diseños Experimentales, el que a su vez tiene como requisito el curso Modelos de Regresión Aplicados. Estos tres cursos son una secuencia que pretende desarrollar en los estudiantes las habilidades para planear y conducir adecuadamente experimentos con validez estadística, utilizando los modelos matemáticos apropiados para el análisis de los datos obtenidos en los estudios planteados.
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    SP-1311: Análisis Funcional
    (2018-12) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es el curso de Análisis Funcional del posgrado en matemáticas de la Universidad de Costa Rica. Esta versión fue impartida en el segundo ciclo lectivo de 2018. Constituye un aggiornamento del curso SP-1322 del 2012. Temática: 1. Los espacios del análisis lineal. 2. Los teoremas fundamentales y la dualidad. 3. Operadores y teoría espectral. 4. Introducción a las distribuciones.
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    SP-1329: Álgebra Homológica
    (2018-07-07) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un curso de álgebra homológica, un optativo de posgrado en matemáticas. El álgebra homológica abarca la determinación y el manejo de invariantes algebraicos en diversas ramas de la matemática. El curso empieza con los elementos estructurales de la teoría: los complejos de módulos sobre un anillo, sus grupos de co/homología y sus funtores derivados; amén de un interludio sobre categorías y funtores. En seguida, se examinan casos particulares: la homología singular de espacios topológicos, la cohomología de de~Rham de variedades diferenciales, los complejos de Koszul, la cohomología de grupos, las cohomologías de álgebras asociativas, y la cohomología de Čech. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Categorías y funtores. 3. Resoluciones y funtores derivados. 4. Ejemplos de homologías y cohomologías.
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    MA-505: Análisis I
    (2017-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este curso de análisis pretende ser una transición entre las materias de sucesiones y series, derivadas e integrales, vistas de modo algorítmico en cursos anteriores, y el estudio colectivo de los espacios de funciones integrables y distribuciones, en cursos posteriores. Se caracteriza por un mayor rigor en su desarrollo, aun cuando su temática sea menos amplia. El curso comienza con el estudio/repaso de algunos aspectos importantes de funciones de una variable real. Luego se abre al análisis en varias variables, con indicaciones de estructuras más generales (espacios métricos y espacios normados). Culmina con un examen de fenómenos de continuidad y convergencia en la presencia de ortogonalidad (espacios de Hilbert). TEMARIO: 1) Prolegómenos sobre análisis en la recta real: Los números reales R y números complejos C. Funciones continuas, valores intermedios. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy, la completitud de R. Convergencia uniforme, la prueba-M de Weierstrass para series de funciones. Polinomios de ernstein, aproximación de funciones continuas por polinomios. 2) Espacios métricos y su topología: Conjuntos abiertos y cerrados en Rn, vecindarios de un punto. Conjuntos compactos en Rn, el teorema de Heine y Borel. Espacios métricos en general, ejemplos. Espacios métricos completos, la compleción de un espacio métrico. Conjuntos conexos y conexos por caminos en Rn. 3) Espacios normados y espacios de funciones Normas en Rn, normas de funciones con valores reales o complejas, equivalencias entre normas. Series en un espacio normado, series absolutamente convergentes. Aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados, extensiones de formas lineales. Diferenciación en espacios normados, la regla de la cadena. Espacios de funciones continuas y sus compleciones. El teorema de aproximación de Stone y Weierstrass. 4) Espacios de Hilbert y series de Fourier: Formas hermíticas definidas positivas, productos escalares. La igualdad de Parseval, bases ortonormales. Proyecciones ortogonales, el algoritmo de Gram y Schmidt. Los teoremas de representación de Riesz para los espacios de Hilbert y espacios de funciones continuas. Series de Fourier de funciones periódicas. Núcleos de Dirichlet y de Fejér, problemas de convergencia de las series de Fourier.
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    MA-704: Topología
    (2011-07-15) Várilly Boyle, Joseph C.
    La topología general trata de las propiedades generales de conjuntos y las aplicaciones continuas entre ellos: partes abiertas y cerradas, los conceptos de compacidad y conexidad, la convergencia por sucesiones y redes, las propiedades de separación de puntos y partes cerradas. La topología algebraica clasifica los espacios topológicos al asociarles ciertos invariantes algebraicas, entre ellos los grupos de homotopía y homología. Temática: 1. Espacios topológicas y funciones continuas. 2. Conexidad, compacidad y separación. 3. Introducción a la homotopía. 4. Introducción a la homología.
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    MA-860: Teoría de módulos
    (2008-12-15) Várilly Boyle, Joseph C.
    Los módulos sobre un anillo generalizan los espacios vectoriales. Se analiza la estructura de módulos sobre un anillo entero principal. Los anillos, conmutativas o no, se estudian mediante sus módulos proyectivos e inyectivos. Los funtores determinados por los complejos de módulos conforman la teoría de álgebra homológica. Temática: 1. Módulos sobre un anillo. 2. Elementos de la teoría de categorías. 3. Módulos proyectivos e inyectivos. 4. Elementos de álgebra homológica.
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    MA-729: Teoría de representaciones
    (2015-12-03) Várilly Boyle, Joseph C.
    La teoría de representaciones es el estudio de diversas estructuras algebraicas (álgebras asociativas, grupos finitos, álgebras de Lie) mediante su concreción como matrices o aplicaciones lineales. Las álgebras asociativas finitodimensionales semisimples tienen una estructura matricial que se ejemplifica en álgebras de grupos finitos. Los grupos finitos, a su vez, se clasifican por sus caracteres. Estos dos aspectos permiten elucidar las representaciones de los grupos de permutaciones S_n. Las álgebras de Lie semisimples se analizan mediante objetos combinatorios, sus sistemas de raíces, que permiten reconstruir sus representaciones. Temática: 1. Álgebras asociativas. 2. Representaciones de álgebras finitodimensionales. 3. Representaciones de grupos finitos. 4. Representaciones del grupo S_n. 5. Estructura de álgebras de Lie.
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    MA-455: Ecuaciones diferenciales ordinarias
    (2016-07-12) Várilly Boyle, Joseph C.
    Para las ecuaciones de primer orden, el teorema de Picard permite obtener existencia y unicidad de las soluciones. Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales son estudiados en detalle. Los problemas de contorno para ecuaciones de segundo orden son estudiados por el método de Sturm y Liouville. Con el método de Frobenius se obtienen soluciones en series de potencias, que permite introducir familias de funciones especiales. Para obtener soluciones aproximados, hay que considerar varios métodos numéricos, con énfasis en los métodos de Runge y Kutta. Temática: 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Ecuaciones diferenciales lineales. 3. Problemas de contorno. 4. Resolución por series de potencias. 5. Soluciones aproximadas.
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    Sistemas de numeración posicional: estructura paracial en base 2,3,5,10
    (1985) Rodríguez Alfaro, Analive
    El propósito de este fascículo es introducir mediante un juego la estructura parcial de diferentes sistemas de numeración posicional. Sugiere ideas para la enseñanza-aprendizaje de los sistemas de numeración posicional, por medio de una serie de actividades que involucran el trabajo con base 2, base 3, base 5 base 1'
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    SP-1322: Análisis real II
    (2012-12-15) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un curso de análisis funcional, de primer año de posgrado en matemáticas en 2012 en la Universidad de Costa Rica. Los espacios de Banach y de Hilbert son espacios vectoriales infinitodimensionales pero completos en norma; su estudio conduce a la estructura de sus operadores lineales. Los operadores sobre espacios de Hilbert admiten una detallada descripción, mediante el teorema espectral: una fuerte generalización del tópico de autovalores y autovectores. En otra dirección, la estructura de otros espacios localmente convexos desemboca en la teoría de las distribuciones y de la transformación de Fourier. Temática: 1. Los espacios del análisis lineal. 2. Los teoremas fundamentales y la dualidad. 3. Introducción a las distribuciones. 4. Operadores y teoría espectral.
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    MA-702: Variable compleja
    (2012-06-30) Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un curso de análisis sobre funciones holomorfas de una variable compleja. Las integrales sobre caminos regulares en el plano complejo, a partir del teorema de Cauchy, exhiben las propiedades especiales de las funciones holomorfas y permiten evaluar integrales reales por medio del cálculo de residuos. Las expansiones y series o productos infinitos dan acceso a las funciones gamma de Euler y zeta de Riemann. Las funciones holomorfas también sirven para desarrollar aplicaciones conformes del plano complejo. Temática: 1. Funciones en el plano complejo. 2. El teorema de Cauchy y las funciones holomorfas. 3. Series y productos de funciones holomorfas. 4. Aplicaciones conformes.
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    MA-707: Geometría no conmutativa
    (2010-06-15) Ugalde Gómez, William Javier; Várilly Boyle, Joseph C.
    Este es un seminario de pregrado, ofrecido en el I ciclo lectivo de 2010. La geometría no conmutativa es un tema activa de investigación; se trata de una introducción a esta nueva materia asequible para estudiantes de pregrado. Temática: 1. Espacios y álgebras de coordenadas. 2. Fibrados vectoriales y módulos proyectos. 3. El círculo S^1. 4. La geometría de la esfera S^2. 5. La geometría de la esfera S^3. 6. El toro no conmutativo. 7. Distancia y dimensión. 8. El grupo cuántico SU_q(2). 9. Área y volumen en la geometría no conmutativa.