The BPS preconditioner on Beowulf cluster

Abstract

This work presents the implementation on a Linux Cluster of a parallel preconditionerfor the solution of the linear system resulting from the finite element discretizationof a 2D second order elliptic boundary value problem. The numerical method,proposed by Bramble, Pasciak and Schatz, is developed using Domain Decompositiontechniques, which are based on the splitting of the computational domain into subregionsof smaller size, enforcing suitable compatibility conditions. The Fortran codeis implemented using PETSc: a suite of data structures and routines devoted to thescientific parallel computing and based on the MPI standard for all message-passingcommunications. The main interest of the paper is to present an efficient and portablecode for the solution of large-scale linear systems and to investigate how the architecturalaspects of the cluster influence the performance of the considered algorithm. Weprovide an analysis of the execution times as well as of the scalability, using as testcase the classical Poisson equation with Dirichlet boundary conditions.Keywords: Domain Decomposition, Parallelization, Partial Differential Equation, Preconditioner,Beowulf Cluster.En este trabajo se presenta una implementaci´on para Cluster Linux de un precondicionador´util para resolver en forma eficiente sistemas lineales obtenidos de ladiscretizaci´on por medio de elementos finitos de problemas de valor inicial 2D el´?pticos de segundo orden. El m´etodo num´erico implementado fue propuesto por Bramble, Pasciakand Schatz, y en ´el se utiliza la t´ecnica de Descomposici´on de Dominio, la cual sebasa en una divisi´on del dominio computacional en subregiones de dimensiones siemprem´as peque˜nas, las cuales cumplen con condiciones apropiadas de compactibilidad.El c´odigo fue implementado en Fortran usando la librer´?a PETSC: una colecci´on de estructurasy funciones, desarrolladas para el C´alculo Cient´?fico en Paralelo y basada enel est´andar MPI para administrar la comunicaci´on y el cambio de mensajes. Nuestroobjetivo en este trabajo es demostrar la eficiencia y portabilidad del c´odigo cuandose emplea en la soluci´on de grandes sistemas y adem´as analizar cu´al es la influenciaque tiene la arquitectura del cluster en las prestaciones del algoritmo considerado.Nosotros presentamos una an´alisis de los tiempos de ejecuci´on obtenidos as´? comode la escalabilidad, usando como problema test la ecuaci´on cl´asica de Poisson concondiciones de Dirichlet en la frontera.Palabras clave: Descomposici´on de Dominio, Paralelizaci´on, Ecuaciones a las DerivadasParciales, Precondicionador, Beowulf Cluster.