Minimum depth of factorization algebra extensions

Abstract

In this paper we study the minimum depth of a subalgebra embedded in a factorization algebra, and outline how subring depth, in this context, is related to module depth of the regular left module representation of the given subalgebra, within the appropriate module ring. As a consequence, we produce specific results for subring depth of a Hopf subalgebra in its Drinfel'd double. Moreover we study a necessary and sufficient condition for normality of a Hopf algebra within a double cross product context, which is equivalent to depth 2, as it is well known by a result of Kadison. Using the sufficient condition, we then prove some results regarding minimum depth 2 for Drinfel'd double Hopf subalgebra pairs, particularly in the case of finite group algebras. Finally, we provide formulas for the centralizer of a normal Hopf subalgebra in a double cross product scenario.En este artículo estudiamos la profundidad mínima de una subálgebra en el contexto de álgebras de factorización, además describimos como la profundidad de subálgebra se relaciona con la profundidad modular de la representación regular del álgebra en el anillo de representaciones correspondiente. Como consecuencia de esto, obtenemos resultados específicos para extensiones de un álgebra de Hopf en su doble de Drinfel'd. Más aún, estudiamos una condición suficiente y necesaria para la normalidad de un álgebra de Hopf en un producto doble cruzado y utilizando la condición de suficiencia producimos resultados específicos para extensiones normales de un álgebra en su doble de Drinfel'd en el caso de álgebras de grupo finito. Finalmente encontramos fórmulas para el centralizador de una Hopf subalgebra en un producto doble cruzado.